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Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P2; 2022.2; Questão 2

Considere as afirmativas abaixo:

I - Se a dimensão da imagem de T   :   R 21   →   R 31 é menor ou igual a 5 , então a dimensão do núcleo de T é maior ou igual a 16 .

II - Se a dimensão do núcleo de T   :   R 92   →   R 81 é maior ou igual a 14 , então a dimensão da imagem de T é menor ou igual a 78 .

(A) Todas são falsas.

(B) Apenas I é verdadeira.

(C) Apenas II é verdadeira.

(D) Todas são verdadeiras.

(E) Não sei

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana, vamos trabalhar com o teorema do núcleo e da imagem. Lembram dele? Ele diz que:

S e j a   V um espaço vetorial de dimensão n , e T : V → V ' . Então:

d i m ( i m ( T ) ) + d i m ( k e r ( T ) ) = n

Então vamos checar as afirmações

Passo 2

A primeira afirmação diz que se a dimensão da imagem de T   :   R 21   →   R 31 é menor ou igual a 5 , então a dimensão do núcleo de T é maior ou igual a 16 .

Bem vamos usar o teorema do núcleo e da imagem que diz que.

d i m ( i m ( T ) ) + d i m ( k e r ( T ) ) = n

Nesse caso, temos que d i m ( i m ( T ) ) ≤ 5 e n = 21

5 + d i m ( k e r ( T ) ) = 21

⇒ d i m ( k e r ( T ) ) = 16

Ou seja, chegamos a conclusão que a dimensão do núcleo de T é maior ou igual a 16 .

Passo 3

Vamos para a segunda afirmação.

e a dimensão do núcleo de T   :   R 92   →   R 81 é maior ou igual a 14 , então a dimensão da imagem de T é menor ou igual a 78 .

Bem vamos usar o teorema do núcleo e da imagem que diz que.

d i m ( i m ( T ) ) + d i m ( k e r ( T ) ) = n

Nesse caso, temos que d i m ( k e r ( T ) ) ≥ 14 e n = 92

d i m ( i m ( T ) ) + 14 = 92

⇒ d i m ( i m g ( T ) ) = 78

Ou seja, chegamos a conclusão que a dimensão da imagem de T é menor ou igual a 78 .

Logo a alternativa correta é d )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

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