UFRJ, Álgebra Linear, P4 – 2017.2, Questão 6
Qual das matrizes abaixo pode não ser simétrica?
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Vou pegar uma matriz genérica cuja transposta é e testar essas alternativas:
(a)
Para a matriz ser simétrica, o segundo elemento da primeira linha deve ser igual ao segundo elemento da primeira coluna:
Isso sempre vai ser verdade então essa não é nossa alternativa.
Passo 2
(b)
Como essa também sempre vai ser simétrica.
Passo 3
(c)
Mas como
O resultado disso é
Ou seja, os termos da diagonal secundária têm sinais opostos, então a matriz não é simétrica!
Então essa é nossa resposta ;)
Passo 4
Vamos só olhar a letra D pra garantir?
Mas nem precise fazer muita conta! Já mostramos que é simétrica, né?
Lembra que a transposta da transposta é a matriz original? É isso aqui
Então vamos olhar o produto
Agora vamos dizer que
Isso significa que
Então podemos reescrever
Mas como é uma matriz genérica, também é uma matriz genérica! E como já mostramos que é simétrica então é simétrica também! Isso significa que é uma matriz simétrica o/
Resposta
c