UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022.2; Questão 3
Q3: Seja A uma matriz tal que. Podemos afirmar que o se guinte vetor é uma solução de .
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma que usa as propriedades da linearidade de uma matriz/transformação linear. Lembram dessa propriedade? Vamos revisar. Ela diz que se for uma transformação linear, e vetores , então
Então Como queremos uma solução para
E o enunciado diz que
Talvez possamos utilizar essa propriedade para resolver essa questão.
Passo 2
Bem, queremos uma solução para , e sabemos que
Então, vamos tentar escrever o vetor , como uma combinação linear dos vetores e
Bem, isso quer dizer que queremos tais que
Bem, isso vai gerar o sistema
Mas esse sistema é fácil de resolver. da primeira equação, temos que
Substituindo isso na segunda equação, temos que
Logo
Ou seja, a combinação linear
é:
Passo 3
Mas não foi isso que o enunciado queria, ele queria tal que
E aí, o que fazemos? Podemos utilizar aquela propriedade da linearidade que revisamos no passo 1. Ela diz que
Mas como aplicamos? Ora o enunciado diz que
E sabemos que
Logo, podemos substituir esses vetores, obtendo a seguinte expressão
Usando a linearidade da transformação linear, essa expressão é equivalente a
Juntando os vetores temos que
Ou seja, é solução de
Esse vetor se encontra na alternativa
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊