UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022.2; Questão 7
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se um sistema admite solução então o conjunto de todas as colunas da matriz aumentada do sistema é linearmente independente.
II - Se o conjunto das colunas da matriz de coeficientes
de um sistema linear é linearmente independente, então o sistema tem solução única.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é uma questão conceitual envolvendo sistemas lineares. Nosso objetivo é verificar a veracidade das afirmações. Então vamos nessa!!!
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira afirmação
I - Se um sistema admite solução então o conjunto de todas as colunas da matriz aumentada do sistema é linearmente independente.
Vamos lá, nossa hipótese é que o sistema linear tem solução. Agora, isso implica que as colunas da matriz AUMENTADA são LI? O que vocês acham?
Vamos tomar um sistema linear homogêneo. Nesse caso, como temos o vetor nulo na coluna da matriz aumentada, o conjunto das colunas será LD. E esse sistema sempre admite a solução trivial. Ou seja, essa afirmação é falsa
Passo 3
A segunda afirmação diz que
II - Se o conjunto das colunas da matriz de coeficientes
de um sistema linear é linearmente independente, então o sistema tem solução única.
E aí? Nesse caso a afirmação só diz respeito às colunas da matriz de coeficientes do sistema. Ora mas se as colunas são LI então a matriz do sistema é investível. Logo admite solução única. Por isso essa afirmação é verdadeira
Dessa forma a alternativa correta é a
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊