UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P2; 2022.2; Questão 10
Seja uma matriz . Considere as afirmativas abaixo:
I - Se então admite infinitas soluções.
II - Se então tem solução única
para todo
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Queremos verificar se as afirmações são verdadeiras. Vamos nessa!
Bem, temos que uma matriz . O que podemos dizer sobre isso? Ora pega elementos de e leva em elementos de . Podemos escrever assim:
Passo 2
Vamos verificar a primeira afirmação. Se então admite infinitas soluções.
Então vamos lá, se ,então a nossa transformação está pegando um espaço de dimensão maior e levando em um espaço de dimensão menor. Mas para ela poder fazer isso, algum vetor não nulo tem que ser levado no vetor zero. Logo, temos que
Ou seja, como . Então existe um tal que
Dessa forma, tomando
Para todo . Logo
admite infinitas soluções.
Podemos concluir que a primeira afirmação é verdadeira.
Passo 3
Vamos para a segunda afirmação.
II - Se então tem solução única.
Bem, isso é verdade quando estamos falando de transformações entre espaços de mesma dimensão. Porém como a nossa
Se então existirão elementos em tais que
não tenha solução. Por exemplo, tome a transformação
A equação
Não tem solução.
logo a alternativa correta é a letra
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊