Seja A uma matriz m   ×   n . Considere as afirmativas abaixo:

I - Se b   ∈   I m ( A )   e   m   <   n então A x   =   b admite infinitas soluções.

II - Se N ú c l e o ( A )   =   { 0 } , então A x   =   b tem solução única

para todo b   ∈   R m

(A) Todas são verdadeiras.

(B) Apenas II é verdadeira.

(C) Todas são falsas.

(D) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Queremos verificar se as afirmações são verdadeiras. Vamos nessa!

Bem, temos que A uma matriz m   ×   n . O que podemos dizer sobre isso? Ora A pega elementos de R n e leva em elementos de R m . Podemos escrever assim:

A : R n → R m

Passo 2

Vamos verificar a primeira afirmação. Se b   ∈   I m ( A )   e   m   <   n então A x   =   b admite infinitas soluções.

Então vamos lá, se m   <   n ,então a nossa transformação está pegando um espaço de dimensão maior e levando em um espaço de dimensão menor. Mas para ela poder fazer isso, algum vetor não nulo tem que ser levado no vetor zero. Logo, temos que

K e r ( A ) = { v 1 , v 2 , ⋯ }

Ou seja, como b   ∈   I m ( A ) . Então existe um w tal que

A w = b

Dessa forma, tomando v ∈ K e r ( A )

A ( a v + w ) = b

Para todo a ∈ R . Logo

A x   =   b admite infinitas soluções.

Podemos concluir que a primeira afirmação é verdadeira.

Passo 3

Vamos para a segunda afirmação.

II - Se N ú c l e o ( A )   =   { 0 } , então A x   =   b tem solução única.

Bem, isso é verdade quando estamos falando de transformações entre espaços de mesma dimensão. Porém como a nossa

A : R n → R m

Se m > n então existirão elementos em b ∈ R m tais que

A x = b

não tenha solução. Por exemplo, tome a transformação

A : R → R 2

x → ( x , 0 )

A equação

A x = ( 0,1 )

Não tem solução.

logo a alternativa correta é a letra d )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

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