UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P2; 2022.2; Questão 13
Sejam uma transformação linear e {} uma base do
Defina para e as matrizes cujas colunas são, respectivamente, os vetores e
A matriz que representa é dada por:
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa a transformação entre
E para isso sabemos que {} é uma base do e que . Além disso definimos , cujas colunas são, respectivamente, os vetores e . Como vamos fazer isso? Tem duas formas, uma correta e outra na rataria, hehe. Vamos ver as duas.
Passo 2
Vamos começar pela solução esperta. Para isso, vamos usar o teorema da resposta. Vamos fazer o estudo da dimensão de
Como as colunas de são os vetores , e temos vetores . E como esses vetores são de eles têm entradas. logo, é uma matriz
E como as colunas de são os vetores , e temos vetores já que . E como esses vetores são de eles têm entradas. logo, é uma matriz
Então ao olharmos as alternativas vemos que as soluções são dadas pelo produto de e , mas como elas são matrizes, as dimensões precisam fazer sentido, Logo as únicas multiplicações que fazem sentido são
e
Como só uma delas está presente nas alternativas, podemos marcar a letra sem medo.
Passo 3
Agora, vamos fazer do jeito ortodoxo.
Como são uma base de Eles são uma mudança de base da base canônica. E que matriz de mudança de base representaria essa transformação? Seria a própria matriz .
Logo, a matriz representa a transformação que leva da base dos para a base canônica.
E a matriz é a matriz que leva da base canônica para os vetores . logo a transformação é dada pela composição
Valor presente na alternativa
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊