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Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

P3 - Álgebra Linear II – Questão 7

Seja A uma matriz n   ×   n . Assinale a alternativa FALSA:

(a) Se as linhas da matriz A são linearmente dependentes então d e t ( A )   =   0

(b) d e t ( A   +   B )   =   d e t ( A )   +   d e t ( B )

(c) d e t ( 3 A )   =   3 n   d e t   A  

(d) d e t ( A T )   =   d e t ( A )

(e) Não sei.

Passo 1

E aí, galerinha!

Como que foi essa P3 aí!?

O produtor tá aqui pra ajudar a responder todas as questões dessa prova!

Portanto, bora pra sétima questão!

Vamos analisar letra por letra...

Passo 2

Letra ( a ) :

Isso tá certo! Quando temos um conjunto de vetores linearmente dependentes em uma matriz quadrada, o determinante dela dá zero!

Letra ( b ) :

Essa daí tá errada! Se liga vamos testar... Peguemos a matriz A e a matriz B , dadas por...

A = 2 3 5 7

B = 1 5 8 9

Baseado nisso, a gente tem que...

A + B = 3 8 13 16

Calculando os determinantes...

det ⁡ A + B = 3 8 13 16 = - 56

det ⁡ A + det ⁡ B = det ⁡ 2 3 5 7 + det ⁡ 1 5 8 9 = - 1 - 31 = - 32

Podemos ver que...

det ⁡ A + B ≠ det ⁡ A + det ⁡ B

Letras ( c ) e ( d ) :

Quantos as letras ( c ) e ( d ) , estão corretas! Basta olhar as regras de determinantes para matrizes:

→ O determinante de uma matriz quadrada  A  é igual ao determinante da sua transposta:  det ⁡ A = d e t ⁡ ( A T ) .

→ O determinante do produto de um número real  k  por uma matriz  A  é igual ao produto de  k  elevado a  n , onde  n  é o número de linhas de  A , pelo determinante de  A :  d e t ( k A )   =   k n   d e t ( A ) .

Portanto, ( b ) é a alternativa falsa!

Resposta

Letra ( b )

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