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Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P2; 2022.2; Questão 1

A matriz A 2 x 2 é tal que k e r ( A ) = s p a n { ( 3,2 ) } , I m ( A ) = s p a n { ( 1 , - 2 ) } e a 22 = - 18 . A entrada a 11 da matriz A é

(A) - 6  

(B) - 5  

(C) - 4  

(D) - 7  

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é encontrar a A entrada a 11 da matriz A . Mas sabemos que k e r ( A ) = s p a n { ( 3,2 ) } , I m ( A ) = s p a n { ( 1 , - 2 ) } e a 22 = - 18

Como podemos resolver essa questão? Ora, vamos tentar criar um sistema usando as informações do enunciado. Vamos nessa!!!

Passo 2

Começando com o fato que k e r ( A ) = s p a n { ( 3,2 ) } . Isso quer dizer que

A ( 3,2 ) T = ( 0,0 )

Fazendo o produto matriz, vetor, obtemos que

3 a 11 + 2 a 12 = 0

3 a 21 + 2 a 22 = 0

Mas o enunciado diz que a 22 = - 18 . Logo

a 21 = 12

Passo 3

Agora, o que podemos dizer sobre I m ( A ) = s p a n { ( 1 , - 2 ) } ? Bem sabemos que k e r ( A ) = s p a n { ( 3,2 ) } . Logo como a nossa matriz é 2 x 2 o vetor ortogonal a ( 3,2 ) é levado na imagem de A . Isto é:

A ( - 2,3 ) T = k ( 1 , - 2 ) T

Fazendo o produto matriz vetor, temos:

- 2 a 11 + 3 a 12 = k

- 2 a 21 + 3 a 22 = - 2 k

Bem, sabemos que a 21 = 12 e que a 22 = - 18 . Substituindo na segunda equação, descobrimos que

- 2 k = - 2 * 12   -   3 * 18

⇒ k = 39

Agora, vamos usar esse resultado e substituir na equação

- 2 a 11 + 3 a 12 = k

Fazendo isso, temos o seguinte sistema

- 2 a 11 + 3 a 12 = 39

3 a 11 + 2 a 12 = 0

Passo 4

Vamos resolver

- 2 a 11 + 3 a 12 = 39

3 a 11 + 2 a 12 = 0

Multiplicando a primeira equação por - 2 e a segunda por 3 temos:

4 a 11 - 6 a 12 = - 2 * 39

9 a 11 + 6 a 12 = 0

Somando as equações, temos:

13 a 11 = - 2 * 39

Logo,

a 11 = - 6

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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