A matriz que representa a reflexão através da reta 3 x   −   2   y   =   0 em R 2 pode ser obtida pelo seguinte cálculo:

(Dica: será útil saber que o vetor   ( 3 ,   − 2 ) é ortogonal à reta   3   x   −   2   y   =   0 .)

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nós queremos descobrir como calculamos a reflexão de um ponto através da reta 3 x   −   2   y   =   0 . Mas como fazemos isso?

Bem, vamos pensar em como fazemos a reflexão em relação a reta x = 0 . Nesse caso nós só invertemos o valor da coordenada y do ponto. Ou seja

( x , y ) → ( x , - y )

E a matriz que representa essa operação é:

Vamos guardar essa operação.

Passo 2

Bem, queremos a reflexão através da reta 3 x   −   2   y   =   0

Mas só sabemos fazer sob a reta x = 0 . E agora? O que fazemos? Podemos pegar o ponto que queremos refletir em relação a reta 3 x   −   2   y   =   0 , representar ele em uma base esperta. Que base seria essa?

Seria a base formada pelo próprio vetor diretor da reta 3 x   −   2   y e pelo vetor ortogonal a essa reta.

O vetor diretor da reta é ( 2,3 ) é seu vetor ortogonal, informado no enunciado, é ( 3 , - 2 )

Logo a matriz que faz a transformação

( 1,0 ) → ( 3 , - 2 )

( 0,1 ) → ( 2,3 )

Logo a matriz de mudança para essa base esperta é

Logo, como podemos escrever a nossa reflexão? Bem, fazemos a mudança de base da canônica para a base esperta, aplicamos a matriz de projeção que vimos no passo 1 e voltamos para a base canônica por meio da matriz inversa. Compondo essas matrizes obtemos:

Que é igual a

Matriz presente na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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