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Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P2; 2022.2; Questão 9

Seja A uma matriz 2   ×   2 e sejam x 1 ,   x 2 ,   b 1 , b 2   ∈   R 2   vetores não-nulos tais que A x 1   =   b 1   e   A x 2   =   b 2 . Assinale a afirmação FALSA:

(A) Se { b 1 , b 2   }   é um conjunto linearmente dependente, pode-se afirmar que A x   =   b não tem solução para certos valores de b .

(B) Se   {   x 1 ,   x 2   } é uma base e   { b 1 , b 2   } é um conjunto linearmente dependente, pode-se afirmar que A x   =   b não tem solução para alguns valores de b .

(C) Se { b 1 , b 2   } é uma base, pode-se afirmar que A x   =   b tem solução única para qualquer b .

(D) Se   {   x 1 ,   x 2   } é um conjunto linearmente dependente, não se pode armar se A x   =   b tem ou não solução para qualquer b .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Queremos verificar qual afirmação é FALSA.

Bem, temos a seguinte situação:

A uma matriz 2   ×   2 e sejam x 1 ,   x 2 ,   b 1 , b 2   ∈   R 2   vetores não-nulos tais que A x 1   =   b 1   e   A x 2   =   b 2 . Assinale a afirmação FALSA:

Vamos começar com a primeira afirmação:

Se { b 1 , b 2   }   é um conjunto linearmente dependente, pode-se afirmar que A x   =   b não tem solução para certos valores de b .

O que vocês acham, essa afirmação é verdadeira? Bem, temos que { b 1 , b 2   }   é um conjunto linearmente dependente, ou seja,

b 1 = a b 2

O que implica que

A x 1   =   b 1 = a b 2 = A a x 2

Mas não sabemos nada sobre x 1 e x 2 . Podemos ter dois casos, se { x 1 , x 2 } for um conjunto LI, então A pega dois vetores L I e leva em vetores LD. Como A uma matriz 2   ×   2 isso quer dizer que a imagem de A teria dimensão 1 . Ou seja, A x   =   b não tem solução para certos valores de b .

Contudo, se se { x 1 , x 2 } for um conjunto LD, então A pega dois vetores L D e leva em vetores LD. E não podemos inferir nada geral sobre a equação

A x   =   b

Dessa forma, essa afirmação é falsa!!!!

Logo a alternativa correta é a letra a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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