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Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, Psub - 2017, Questão 9

Se

então A 80 é:

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir o valor de A 80 . Bem, fica aqui a dica, se temos que fazer uma potência muito alta de uma matriz, então muito provavelmente teremos que diagonalizar a matriz. Isto é escrever na forma P D P - 1 . Então vamos resolver essa questão!!!!

vamos calcular seus autovalores. Por definição, eles são as raízes do polinômio

p ( x ) = d e t ( A - I x )

= ( - 3 i - x ) ( 3 i - x ) + 8

= x 2 + 1

E suas raízes são

i   e   - i

Passo 2

Agora que temos os nossos autovalores, podemos calcular A 80 (vc acha que temos que pegar os autovetores, né? Mas se liga só) 😉

como os autovalores são

i   e   - i

A matriz D é:

Então:

A 80 = ( P D P - 1 ) 80

= P D 80 P - 1

Mas D 80 é:

então

A 80 = P D 80 P - 1

= P I P - 1

= I

Ou seja, A 80 é a matriz identidade. Legal, né? Essa matriz está presente na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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