USP – Álgebra Linear 2 – P3 – 2016
Q16. Recorde que o traço de uma matriz quadrada é definido como sendo a soma das entradas na sua diagonal principal. Se denota a matriz dada por
Então o traço de é igual a:
a) ;
b)
c) ;
d) ;
e)
Passo 1
Falaaa... beleza???
Nessa questão vamos calcular o traço da matriz elevada a 200.
Não vamos elevar essa matriz assim na cara e na coragem multiplicando uma por uma, né?
Vamos diagonalizar ela que aí quando elevar ao expoente vai ser só elevar cada entrada da diagonal principal.
Passo 2
Primeiro vamos achar os autovalores da matriz :
Temos , .
A matriz dos autovalores:
E a inversa de :
Então a matriz diagonal será:
Temos:
Passo 3
Elevando a 200:
Então:
Então o traço da matriz será
Repara que e que Então:
Repara também que e que . Então:
Como estamos elevando a um expoente par, o sinal de menos some...
Letra C
Resposta
Letra C