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Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P2; 2022.2; Questão 3

Considere a seguinte base de P 2 , o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 :

β   =   { 1   −   x ,   − 2   −   3   x 2 ,   3   x   −   3   x 2 } .

Assinale abaixo o polinômio p cujas coordenadas com relação à base   β são [ p ] β   =   ( − 4 ,   3 ,   1 ) .

  1. p ( x )   =   − 10   +   7   x   −   12   x 2
  2. p ( x )   =   − 11   +   7   x   −   12   x 2

(C) p ( x )   =   − 10   +   6   x   −   12   x 2

(D) p ( x )   =   − 11   +   6   x   −   12   x 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana, vamos trabalhar com representação de um vetor em outras bases.

Lembram como podemos fazer isso? Bem primeiro vamos entender o que quer dizer representar um certo vetor a partir de uma base?

Bem, vamos supor que queremos representar o vetor ( 1,1 ) na base B =   { ( 1,2 ) , ( 0,1 ) } . Como fazemos isso?

escrevemos ( 1,1 ) como uma combinação linear dos elementos da base B = { ( 1,2 ) , ( 0,1 ) } . Temos que

( 1,1 ) = 1 ( 1,2 ) - 1 ( 0,1 )

Então, dizemos que

( 1,1 ) B = ( 1 , - 1 )

Ou seja, são os coeficientes utilizados na combinação linear dos elementos de B para escrevermos ( 1,1 ) . Show?

Passo 2

Agora que fizemos nossa revisão. Vamos analisar a questão. Queremos saber qual é o polinômio cujas coordenadas com relação à base   β são [ p ] β   =   ( − 4 ,   3 ,   1 ) .

β   =   { 1   −   x ,   − 2   −   3   x 2 ,   3   x   −   3   x 2 } .

Ora, mas como vimos na revisão, as entradas dos vetores são os coeficientes que multiplicam os elementos da Base. Logo,

[ p ] β   =   ( − 4 ,   3 ,   1 )

= - 4 ( 1   −   x )   + 3 ( − 2   −   3   x 2 ) + 1 ( 3   x   −   3   x 2 )

= ( - 12 x 2 + 7 x - 10 )

polinômio presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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