A1 T6
Seja uma matriz . Deseja-se construir uma matriz de forma que o produto seja uma matriz satisfazendo:
A primeira linha de é igual à metade da soma de todas as linhas de ;
A segunda linha de é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de ;
A terceira linha de é igual à primeira linha de ;
Qual a soma de todos os elementos da matriz ?
Passo 1
Primeiro vamos ver o tamanho de . Temos o seguinte:
Para que o produto seja possível precisamos que , e para que seja precisamos que . Logo, é uma matriz !
Passo 2
Normalmente nós faríamos o produto combinando as colunas de usando os elementos das colunas de como coeficientes, mas esse método não serve pra nada aqui!!
Por sorte, também sabemos que o produto pode ser entendido como uma combinação das linhas de usando os elementos das linhas de como coeficientes! Esse é o tipo de questão que fica muuuuito mais fácil de resolver sabendo isso, como eu comentei na teoria haha. Vamos lá então:
A primeira linha de é igual à metade da soma de todas as linhas de
Então a primeira linha de tem que somar metade de todas as linhas de :
A segunda linha de é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de
Então a segunda linha de tem que fazer a diferença das metades das duas últimas linhas de . Assim?
A terceira linha de é igual à primeira linha de
Então a terceira linha de é:
Passo 3
Agora é só somar todos os elementos de :
Resposta
Letra