Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

Exercício 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

Enunciado

UFES, Álgebra Linear, P2 Manhã, 2017.2 - Questão 5b

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contraexemplo para as falsas.

b) Se e são matrizes equivalentes, então elas têm o mesmo posto.

Passo 1

E aíí gente, vamos lá pra mais uma??

Nesse exercício queremos verificar se é verdade ou mentira que duas matrizes semelhantes possuem o mesmo posto, ou seja, que possuem o mesmo número de linhas nulas após escalonarmos

Só pra te lembrar: duas matrizes e são semelhantes se existir invertível tal que

Para verificarmos nossa afirmação, vamos ver se o determinante de tem alguma relação com o determinante de . Se eles forem iguais, as matrizes possuem o mesmo posto ok?

Então vamos lá

Passo 2

Primeiramente, se e são semelhantes, então existe tal que

Vamos calcular o determinante da matriz :

O determinante do produto é igual o produto dos determinantes:

O produto de uma matriz com a sua inversa vai dar a matriz identidade:

E o determinante da matriz identidade vale 1:

Oba! Então e possuem o mesmo determinante

Duas matrizes com o mesmo determinante vão possuir o mesmo número de linhas nulas, e portanto, o mesmo posto ;D a afirmação é verdadeiraaaa

Resposta

Verdadeira

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36. Usando sua experiência com o exercício 35, projete um teste geral que possa ser aplicado a uma fórmula para aij para determinar se A=[a]ij é simétrica.

Se as entradas da matriz C = c 11 x c 21 x ⋮ c m 1 xc 12 x c 22 x ⋮ c m 2 x⋯ ⋯ ⋮ ⋯c 1 n x c 2 n x ⋮ c m n x São funções deriváveis de x , então definimos d C d x = c 11 ' x c 21 ' x ⋮ c m 1 ' xc 12 '

Se a b c d = m e a matriz de uma rotação em torno da origem, mostre que as colunas de m são vetores unitários ortogonais e o mesmo vale para as linhas.

Seja T:R ² →R ² ² ² a transformação linear que consiste em aplicar uma rotação de ângulo θ e depois trocar o sinal da segunda coordenada. Mostre que T é a reflexão em torno de uma reta r que contém a

Sejam r uma reta que contém a origem, α o ângulo de O X para reS :R ²→R ² ² ² a reflexão em torno de r . Sendo e 1=( 1 ,0 )ee 2=( 0 ,1 ) mostre que o ângulo de e 1 paraS e 1 é 2 α e o ângulo de e 2 pa