Seja A uma matriz m × n . Pode-se afirmar que os produtos abaixo estão bem definidos, à exceção de:

(a) A T A A

(b) A A T A

(c) A A T

(d) A T A

Passo 1

Vamos começar lembrando que se temos uma matriz A   m × n e queremos multiplica-la por outra matriz B, então a matriz B vai ter que ter a quantidade de linhas igual a quantidade de colunas de A, isso é, B vai ter que ser n × p , com p qualquer.

Se isso não acontecer, não podemos multiplicar as matrizes e o produto entre elas não fica bem definido.

Quando multiplicamos A m × n por B n × p , o resultado é uma terceira matriz C m × p .

Agora que lembramos isso vamos olhar cada afirmativa e ver quando é possível multiplicar as matrizes.

Passo 2

(a) A T A A

Se A é uma matriz m × n , então a transposta de A (obtida quando trocamos as linhas pelas colunas), vai ser n × m .

Então vai ser possível fazer a multiplicação

A T A

Porque o número de linhas da segunda matriz é igual ao número de colunas da primeira matriz.

Quando fazemos isso, temos uma matriz n × n .

Na letra (a), tentamos multiplicar essa matriz n × n   pela própria matriz A m × n . Como foi discutido no passo 1, isso não vai ser possível.

A questão quer a única opção em que o produto não está bem definido, então essa é a resposta.

Mas vamos ver por que as outras opções estão certas!

Passo 3

(b) A A T A

Quando multiplicamos A m × n por A T   n × m , vamos ficar com uma matriz m × m .

Nessa opção, tentamos multiplicar essa matriz m × m obtida por outra m × n .

Como vimos no passo 1, isso vai ser possível, e no final vamos ficar com uma matriz m × n .

Passo 4

(c) A A T

Como vimos na opção (b), é possível multiplicar A m × n por A T   n × m .

Passo 5

(d) A T A

Como vimos na opção (a), é possível multiplicar A T   n × m por A   m × n .

Resposta

(a) A T A A

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