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Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P2; 2022.2; Questão 14

Sejam T ( x ,   y ,   z )   =   (   2   x   +   y   −   z ,   − 2   x   +   2   y   +   z   )   e   S ( x ,   y )   =   (   x   +   2   y ,   − 2   x   +   y ,   x   −   2   y   ) . Se A é a matriz que representa T   ◦   S , então sua entrada a 22 é:

(A) − 2

(B) − 4

(C) − 5

(D) − 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Uma sobre composição de transformações. Queremos descobrir quem é T   ◦   S . E para isso sabemos que

T ( x ,   y ,   z )   =   (   2   x   +   y   −   z ,   − 2   x   +   2   y   +   z   )  

S ( x ,   y )   =   (   x   +   2   y ,   − 2   x   +   y ,   x   −   2   y   )

E aí? Como fazemos essa composição? Ora, fazemos igual a composição de funções, vamos pegar a saída da transformação S e jogar na entrada transformação T

Passo 2

Bem, a saída da transformação S é

S ( x ,   y )   =   (   x   +   2   y ,   − 2   x   +   y ,   x   −   2   y   )

E da transformação T é

T ( x ' ,   y ' ,   z ' )   =   (   2   x '   +   y '   −   z ' ,   − 2   x '   +   2   y '   +   z '   )  

Logo,

T   ◦   S = T ( x   +   2   y ,   − 2   x   +   y ,   x   −   2   y )

= (   7 y - x ,       - 5 x - 4 y )

Agora que sabemos que

T   ◦   S ( x , y )     = (   7 y - x ,       - 5 x - 4 y )

Podemos verificar o que essa transformação faz com os vetores da base canônica de R 2

Passo 3

Sabendo que

T   ◦   S ( x , y )     = (   7 y - x ,       - 5 x - 4 y )

T   ◦   S ( 1,0 ) = ( - 1 , - 5 )

e

T   ◦   S ( 0,1 ) = ( 7 , - 4 )

Como sabemos o que a transformação faz com os elementos da base canônica, podemos expressar a matriz A da transformação como

Dessa forma, a entrada a 22 é dada por - 4

logo a alternativa correta é a letra b )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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