USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 10
Sejam e bases de tais que
E seja a matriz tal que , para todo . Temos que é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu duas bases, e , e uma matriz . Aí ele nos disse que os vetores que compõem a base são combinações lineares dos vetores na base , ou seja:
A matriz é tal que . Quê que isso nos lembra? Matriz de mudança base (ou de transformação linear), certo?
Isso porque essa matriz pega o vetor escrito nas coordenadas de uma base e leva ele para o mesmo vetor, só que escrito nas coordenadas de outra base. E a gente escreve isso assim:
Só que com os dados que nós temos, nós estamos transformando os vetores da base na base . Ou seja, nós temos uma matriz que faz a transformação Então, pra encontrar a matriz , que transforma uma vetor na base em um vetor na base , nós vamos precisar encontrar uma matriz inversa , tal que seja igual a , sacou?
As colunas dessa matriz são extraídas dos coeficientes dos vetores . Assim:
Portanto, para achar a matriz , nós vamos vamos encontrar a inversa de . Pra isso, vamos reduzir a matriz à matriz identidade , usando operações por linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a para produzir . Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de , de forma que teremos uma matriz na forma:
Em seguida, efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a ; essas operações converterão o lado direito a , de modo que a matriz final terá a forma:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar escrevendo nossa matriz ao lado da matriz identidade:
Vamos começar as operações trocando a primeira linha com a segunda linha e multiplicando a terceira linha por :
Agora vamos multiplicar a primeira linha por e depois somar a segunda linha:
Agora vamos multiplicar a segunda linha por :
Agora vamos fazer duas operações seguidas. Primeiro, vamos multiplicar a terceira linha por e subtrair o resultado da segunda linha. Em seguida, vamos multiplicar a segunda linha por e subtrair da primeira. Assim:
Então, achamos nossa matriz inversa:
Colocando em evidência, e como , temos:
Que é a nossa alternativa (A).
Valeu, galera! Até a próxima! 😉