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Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P2; 2022.2; Questão 8

Sejam T   :   R 2 →   R 2   uma transformação linear e u 1 , u 2 ,   v 1 ,   v 2   ∈   R 2 tais que T ( u 1 )   =   v 1   e   T ( u 2 )   =   v 2 .

Defina U   =   { u 1 ,   u 2 }   e   V   =   { v 1 ,   v 2 } . Considere as afirmativas abaixo:

I - Se V é linearmente independente, então U é linearmente independente.

II - Se U é linearmente independente, então T é sobrejetiva.

(A) Todas são verdadeiras.

(B) Todas são falsas.

(C) Apenas I é verdadeira.

(D) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Queremos verificar se as afirmações são verdadeiras.

Vamos começar com a afirmação

Sejam T   :   R 2 →   R 2   uma transformação linear e u 1 , u 2 ,   v 1 ,   v 2   ∈   R 2 tais que T ( u 1 )   =   v 1   e   T ( u 2 )   =   v 2 .

Defina U   =   { u 1 ,   u 2 }   e   V   =   { v 1 ,   v 2 } .

I - Se V é linearmente independente, então U é linearmente independente.

E aí, o que podemos dizer dessa afirmação?

Bem, vamos checar a contrapositiva, isso é:

U é linearmente dependente então V é linearmente dependente. Ou seja, U   é LD, então

a u 1 = u 2

Logo,

T ( u 1 )   =   v 1   e   T ( u 2 )   =   v 2

mas

a u 1 = u 2

Então

  T ( u 2 )   = T ( a u 1 ) =   v 2

Logo

a v 1 = v 2

Ou seja, a imagem da transformação será LD. Dessa forma, mostramos que se U é linearmente dependente então V é linearmente dependente. O que implica em se V é linearmente independente, então U é linearmente independente.

Logo a primeira afirmação é verdadeira.

Passo 2

Vamos verificar a segunda afirmação

Sejam T   :   R 2 →   R 2   uma transformação linear e u 1 , u 2 ,   v 1 ,   v 2   ∈   R 2 tais que T ( u 1 )   =   v 1   e   T ( u 2 )   =   v 2 .

Defina U   =   { u 1 ,   u 2 }   e   V   =   { v 1 ,   v 2 } .

II - Se U é linearmente independente, então T é sobrejetiva.

Ora U pode até ser LI, mas não sabemos o que T faz com os vetores da base, quero dize que não sabemos se v 1 e v 2 são LI. Por exemplo, tome a seguinte transformação

T ( 1,0 )   =   ( 1,0 )   e   T ( 0,1 )   =   ( 0,0 ) .

Defina U   =   { ( 1,0 ) ,   ( 0,1 ) }   e   V   =   { ( 1,0 ) ,   ( 0,0 ) } .

U   é LI, mas V não gera R 2 . Logo T não é sobrejetiva. Então a afirmação é falsa

Logo a alternativa correta é a letra c )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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