UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P2 – M.Escolha
Considere as afirmações a seguir
Seja uma função diferencial em tal que e . Então existe tal que ;
Seja uma função diferencial em e suponha que existe tal que . Então ;
Sejam e funções diferenciáveis em tais que para todo e suponha, além disso, que . Então .
Podemos concluir com certeza que:
: Todas as afirmações são verdadeiras.
: Apenas a afirmação é verdadeira.
: Apenas as afirmações e são verdadeiras.
: Apenas as afirmações e são verdadeiras.
: Apenas as afirmações e são verdadeiras.
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Vamos avaliar cada afirmação separadamente e ver se ela é verdadeira ou falsa. Uma coisa que vai nos ajudar é o teorema do valor médio, ele diz o seguinte:
Seja uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
é contínua no intervalo fechado .
é derivável no intervalo aberto .
Então, existe um número em tal que
Vamos usar também o teorema de Rolle, que diz o seguinte:
Seja uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
é contínua no intervalo fechado .
é derivável no intervalo aberto .
Então, existe um número em tal que .
Vamos para cima então!
Passo 2
Começando com a primeira afirmação .
Nessa afirmação ele diz que é diferencial logo ela já satisfaz as duas condições do teorema do valor médio, então a gente pode usar ele para achar , temos:
Usando que e e substituindo os valores que temos, ficamos com:
Então a é verdadeira.
Passo 3
Agora vamos analisar a .
Afirmação se encaixa perfeitamente na situação do teorema de Rolle, só que tem um detalhe, ela usa o resultado do teorema para afirmar que uma das condições é satisfeita, no caso .
Só que isso não é uma via de mão dupla, não é só porque uma função tem uma característica igual a do resultado que ela satisfaz todas as condições do teorema, mas uma função que satisfaz todas as condições do teorema vai ter o mesmo resultado.
Então essa afirmação é falsa.
Passo 4
Vamos avaliar agora a .
Essa afirmação nos diz algumas coisas sobre as funções e e fala que , para a gente ver se isso é verdade ou não vamos aplicar o teorema do valor médio para cada função.
Sabemos que para todo , então isso é verdade para qualquer que pegarmos nesse intervalo, então:
E para , temos:
Passo 5
Agora vamos usar o fato de que , então:
Da afirmação a gente sabe que , então para o que encontramos ser verdadeiro temos que:
Então a está correta.
Logo a alternativa certa é a letra .
Resposta
: Apenas as afirmações e são verdadeiras