Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real

1 / x - e^x = 0

Passo 1

Precisamos aqui no inicio entender o que é o teorema do valor médio e como ele vai nos ajudar a descobrir se temos ao menos uma raiz real pra essa equação. Esse teorema diz que teremos pelo menos uma raiz dentro de um intervalo quando o sinal da f ( x ) mudar.

Ou seja, a gente precisa escolher dois valores onde a equação dada pra gente vai ter como resultado um valor negativo e outro positivo.

Passo 2

Quando x = 1 , temos:

f 1 = 1 1 - e < 0

Pois e ≈ 2,7

Para um valor podemos fazer x → 0 , ou seja, aplicando um limite temos:

lim x → 0 ⁡ 1 x - e x = ∞ > 0

Resposta

Dentro do intervalo ( 0 ,   1 ) temos a certeza de que pelo menos uma raiz real existirá.

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