UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 8.3
Mostre que a equação tem no máximo duas raízes reais.
Passo 1
Olá, meu chamo Yuri e hoje irei lhe acompanhar na resolução dessa atividade. Hoje o que queremos provar é que a querida equação possui apenas duas raízes reais. Para mostrar que a equação tem no máximo duas raízes reais, podemos usar a análise das variações da função polinomial e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro iremos encontrar o mínimo de , e para encontrar os pontos críticos de uma função, basta , resolvendo nossa equação , o que nos da como única solução real. Nesse ponto, temo um mínimo local, uma vez que a derivada muda de positiva para negativa ao passar por
Outro ponto a se considerar, é a concavidade de , a derivada segunda é sempre positiva, o que significa que a função é concava para cima em toda sua gama de valores.
Passo 3
As duas conclusões que obtivemos significam que a função começa a aumentar rapidamente a partir de seu mínimo local em e sua concavidade para cima impede que ela cruze o eixo x mais do que duas vezes. Portanto ela possui apenas duas raízes reais.
Resposta
Ver o solucionario.