UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 1
Determine o número de raízes reais distintas que o polinômio
possui.
Dica: Use o Teorema do valor médio para mostrar que possui no máximo raízes reais distintas e em seguida o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência delas.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o número de raízes reais do polinômio e ele já nos deu a dica de usarmos os teoremas do valor médio e do valor intermediário pra isso.
Então, vamos começar relembrando esses teoremas. O teorema do valor médio (TVM) nos diz que se temos uma função contínua em um intervalo fechado e derivável no intervalo aberto , então existe um número tal que
Isso quer dizer que a inclinação da reta tangente nesse ponto vai ser igual a inclinação da reta secante nesse intervalo. Beleza, e o teorema do valor intermediário (TVI)? O TVI nos diz que se é contínua em e é um número qualquer entre e , com , então existe um número em tal que
E aí uma das aplicações desse teorema é a localização de raízes. Então, vamos usar o TVM pra mostrar que existem duas raízes no polinômio e usar o TVI pra localizar o intervalo dessas raízes.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar dando uma olhada na nossa função polinomial:
Como se trata de um polinômio, a gente já pode garantir que ele será contínuo e derivável em qualquer intervalo. Além disso, como esse é um polinômio de grau , já sabemos que ele vai ter no máximo raízes reais e que ele pode ter no mínio raízes reais (porque as outras raízes seriam complexas e raízes complexas só podem existir em pares conjugados).
Como a função é contínua e derivável, vai existir um número entre e tal que . Assim, calculando a derivada da função , vamos ter:
Calculando e igualando a zero:
Dessa forma, temos:
Repare que encontramos apenas uma raíz real para . Se a gente supor que existem raízes para , com , então pelo teorema do valor médio. E de acordo com o teorema de Rolle, existiriam números e tal que e , e . Logo, deve ter pelo menos duas raízes reais como solução, o que não acontece.
Então, a gente prova por contradição que pode ter no máximo duas raízes reais.
Passo 3
Agora para encontrar os intervalos onde essas raízes existem, precisamos verificar os pontos onde ocorre mudança de sinal na função. Porque isso significa que a curva passou pelo eixo e deixou de ser negativa pra ser positiva (ou vice-versa).
Assim, testando , vamos ter:
E para , temos:
Logo, como a função é contínua, o teorema do valor intermediário afirma que existe um número entre e tal que . Em outras palavras, tem pelo menos uma raíz no intervalo . E onde tá a outra raíz? A gente pode encontra-la calculando :
E para :
Portanto, existe uma raíz no intervalo pelo teorema do valor intermediário.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉