Para que valores de a, m, b a função

f(x) = { 3, x = 0; -x^2 + 3x + a, 0 < x < 1; mx + b, 1 ≤ x ≤ 2 } .

satisfaz as hipóteses do TVM no intervalo [0, 2]?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar para quais valores de a ,   m ,   b a função

f ( x ) = { 3 ,   x = 0 ;   − x   2 +   3 x   +   a ,   0   <   x   <   1 ;   m x   +   b ,   1   ≤   x   ≤   2 .

satisfaz as hipóteses do TVM no intervalo [0, 2].

O teorema do valor médio nos diz que para uma função contínua no intervalo [a, b], sendo c contido nesse intervalo, temos que

  f ' ( c ) = f ( a ) - f ( b ) a - b .

Assim, vamos avaliar essa igualdade no intervalo [0, 2] e para c=1, então encontrar os valores de a ,   m ,   b .

Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos notar que para a função seja contínua em x=0, o valor de a deve ser:

3 = − ( 0 )   2 +   3 ( 0 )   +   a = a

a = 3 .

E para a função seja contínua em x=1,

− 1   2 +   3 ( 1 )   +   3 = m ( 1 ) + b

m + b = 5 .

Passo 3

Vamos tomar a derivada da função em x=1:

f ' ( 1 ) = ( d d x ( - x 2 + 3 x + 3 ) ) x = 1 = - 2 x + 3 | x = 1

f ' ( 1 ) = 3 - 2 = 1 .

Agora usando o TVM,

f ' ( 1 ) = 1 = f ( 2 ) - f ( 0 ) 2 - 0 = m ( 2 ) + b - 3 2

2 m + b - 3 = 2

m + ( m + b ) = 5

temos a relação m + b = 5 , substituindo:

m + 5 = 5

m = 0 .

b = 5

Assim, temos que para a = 3 , m = 0 e b = 5 , a função satisfaz as hipóteses do TVM no intervalo [0, 2].

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a = 3 ,   m = 0 e b = 5 .

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