Teorema do Valor Médio
Mostre que, se e , então a equação tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Pensa comigo, para mostrar que a função SÓ tem uma raiz nós temos que garantir duas coisas:
Que ela tenha a mesma tendência de variação em todo o seu domínio;
Que em e a função tenda para “infinitos diferentes”
Melhorando as explicações: na primeira condição eu quero dizer que precisamos garantir que a função sempre cresça ou sempre decresça; na segunda o objetivo é fazer com que
Para que eu garanta que ela vai explodir para os dois lados, o que garante que de fato o eixo será cruzado. Essa segunda condição nós já garantimos pelo tipo de função com a qual estamos trabalhando: o limite desse polinômio para ou para dará certo para obter esses limites dissidentes pois o grau do polinômio é ímpar (no caso ), o que faz com que o sinal do grau que manda no limite mude em relação aos limites para .
Passo 2
Assim, vamos concentrar na condição , para que a função sempre cresça ou sempre decresça temos que garantir que seu sinal seja sempre o mesmo (ou sempre ou ). Isso acaba sendo a mesma coisa que provar que não tem raízes reais!
Vamos começar obtendo essa derivada:
Ora, é um polinômio do segundo grau. Podemos usar Bhaskara para determinar supostas raízes. Aliás, é mais prático observar se temos ou não raízes pelo , lembra das condições?
Pelas constantes, nosso ficaria assim:
Espera, mas ele disse lá em cima que
Poxa, com isso nós concluímos:
Assim, garantimos que a função explodirá para opostos e sempre terá o mesmo regime de crescimento, garantindo que a função tem exatamente uma raiz.
OBS.: Pode ser Provada essa parte final da demonstração com o Teorema de Rolle: se considerarmos que nunca valerá temos que não existe nenhum par de pontos e com , garantindo que sempre crescerá ou decrescerá.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)