Sejam e números reais tais que:
Mostre que o polinômio possui ao menos uma raíz no intervalo .
Dica: Use o polinômio:
Passo 1
Vamos começar substituindo os extremos do intervalo no polinômio da dica.
Como a função vale zero nos extremos do intervalo, então pelo teorema de Rolle, garantimos que é zero em algum momento do intervalo.
Passo 2
Tudo bem, mas e o que isso tem a ver? Vamos derivar para tentar descobrir:
Veja que:
Assim, como garantimos no passo anterior que tem uma raiz no intervalo proposto, concluímos também que tem um zero nesse mesmo intervalo, já que os dois são iguais!
Resposta
Pelo teorema de Rolle, garatímos que tem uma raiz em . Como , então tem raiz nesse intervalo.