A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.
Passo 1
Legal, temos, à esquerda da vírgula, a função a analisar e, à direita, o intervalo.
Para ver se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio temos que garantir que:
- A função seja contínua para todo o intervalo fechado .
- A função seja derivável para todo o intervalo aberto .
Passo 2
A função é uma função potência, que é contínua para todo . Assim, garantimos a primeira condição.
Passo 3
A derivada dessa função, segue a regra da derivação de funções potência, onde:
Essa derivada não vai existir para , pois teremos uma divisão por zero. Isso não é problema, pois precisamos somente que a função seja derivável para intervalo aberto , ou seja, ela não precisa ser derivável nas fronteiras do intervalo, em . e .
Dessa maneira, a função satifaz as hipóteses do TVM.
Resposta
A função satifaz as hipóteses do TVM. Justificativa no desenvolvimento.