UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 8.6
Usando o Teorema do Valor Médio prove as desigualdades
Para quaisquer .
Passo 1
Olá meu caro estudante, sei que está cansado, mas que tal mais uma questão? Depois que eu lhe explicar essa daqui, nunca mais terá duvidas sobre o teorema do valor médio. Para provamos a desigualdade pedida, podemos aplicar o teorema à função no intervalo .
O Teorema do Valor Médio estabelece que se é continua em [a,b] e diferenciavel em , então existe um valor no intervalo aberto tal que:
Passo 2
Primeiro iremos começar provando a desigualdade .
Aplicando o teorema no intervalo, temos:
Derivando , obtemos Então existe um c no intervalo tal que:
Isolando a equação, obtemos
Como é sempre maior que 1, temos que . Portanto:
Substituindo de volta na equação anterior, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Agora, vamos provar a desigualdade da direita:
Passo 3
Aplicando o teorema para , temos:
Usando o valor de c que encontramos anteriormente,
Como , temos
Substituindo de volta na equação anterior, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora invertendo a igualdade
E aqui terminamos nossa prova.
Resposta
Ver o desenvolvimento.