Verifique se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do teorema do valor médio.

f(x) = x^3 + x - 1 com domínio [0,2]

Passo 1

Vamos resolver essa questão de forma bem prática? Hehe O teorema do valor médio diz que uma equação ou função deve ser contínua em um intervalo [a,b] e derivável em (a,b). Sendo que existe um número c em (a,b) tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Então tendo essas informações aí, a gente pode calcular de boaaa!

Passo 2

A nossa função f ( x ) é dada no enunciado e o intervalo onde ela é contínua e derivável também foi dada, logo

f ' c = f 2 - f 0 2 - 0

Substituindo o intervalo [0,2] na função,

f 2 = 9

f 0 = - 1

Derivando a equação,

f ' x = 2 x 2 - 3 x + 1

f ' x = 3 x 2 + 1

f ' c = 3 c 2 + 1

Agora, é só substituirmos,

3 c 2 + 1 = 9 - ( - 1 ) 2 - 0 = 5

3 c 2 + 1 = 5

3 c 2 = 4

c = ± 2 3

Porém, c = 2 / 3 satisfaz o intervalo (0,2). A raiz negativo não satisfaz.

Resposta

c = 2 3

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