UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 8.1
Uso o Teorema do Valor Intermediário junto com o Teorema de Rolle para provar que o polinômio , possui um único zero real (raiz da equação .
Passo 1
Olá meu caro colega, me chamo Yuri e hoje irei lhe guiar pelos caminhos tortuosos, mas satisfatórios do cálculo. Dramas a parte, o que queremos hoje é provar por meio de 2 teoremas que a querida equação possui apenas 1 zero real, e que seus outros 2 zeros são imaginários. Primeiro de tudo iremos mostrar que temos uma raiz real, e para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, primeiro precisamos mostrar que existe pelo menos uma raiz real para a equação
Note que , e . Como é um polinômio continuo, pelo Teorema do valor intermediário, deve existir algum valor c entre 0 e 2 para qual . Isso implica que o polinômio tem pelo menos uma raiz no intervalo .
Passo 2
Agora iremos aplicar o Teorema de Rolle para mostrar que só pode haver uma raiz nesse intervalo. Para isso, suponha que existam duas raízes distintas a e b de no intervalo . Pelo Teorema de Rolle, se tiver duas raízes distintas a e b, então deve ter pelo menos uma raiz no intervalo .
Notamos então que não existe raiz real para a equação acima, contradizendo o Teorema. Portanto, nossa suposição de que existem duas raízes distintas a e b é falsa. Isso significa que só pode haver uma raiz no intervalo , o que conclui a prova de que o polinômio possui uma única raiz real.
Resposta
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