UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 8.2
Mostrar que a função , , tem exatamente um zero real.
Passo 1
Olá caro colega, Yuri aqui e agora é hora de trabalho. Vamos mostrar que a função dada possui apenas 1 zero real, o que significa duas coisas: 1º ela possui 1 zero real, então devemos provar que existe 1 zero real, 2º provar que é apenas 1 zero real.
Primeiro, vamos observar os valores da função nos extremos de um intervalo. Quando tende a negativo infinito, a função tende a negativo infinito. E quando x tende a positivo infinito, a função tende a positivo infinito. Isso ocorre porque o termo está limitado entre e . Como a função é contínua, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário, deve haver um valor de x no qual f(x)=0, ou seja, pelo menos um zero real.
Passo 2
Agora iremos demonstrar que a função tem no máximo um zero real. A derivada da função e . A derivada é sempre positiva, uma vez que o menor valor possível para é e , que é positivo. Isso indica que a função é estritamente crescente em toda sua gama de valores. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o eixo x uma vez. E aqui terminamos nossa prova, um forte abraço meu amigo e até uma próxima.
Resposta
Ver o desenvolvimento.