Mostrar que a função f   ( x )   =   2 x   -   1   -   s e n   ( x   ) , x   ∈   R , tem exatamente um zero real.

Passo 1

Olá caro colega, Yuri aqui e agora é hora de trabalho. Vamos mostrar que a função dada possui apenas 1 zero real, o que significa duas coisas: 1º ela possui 1 zero real, então devemos provar que existe 1 zero real, 2º provar que é apenas 1 zero real.

Primeiro, vamos observar os valores da função nos extremos de um intervalo. Quando x tende a negativo infinito, a função f ( x ) tende a negativo infinito. E quando x tende a positivo infinito, a função f ( x ) tende a positivo infinito. Isso ocorre porque o termo - sin ⁡ x está limitado entre - 1 e 1 . Como a função é contínua, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário, deve haver um valor de x no qual f(x)=0, ou seja, pelo menos um zero real.

Passo 2

Agora iremos demonstrar que a função tem no máximo um zero real. A derivada da função f ( x ) e f ' x = 2 - cos ⁡ x . A derivada f ' ( x ) é sempre positiva, uma vez que o menor valor possível para cos ⁡ x é - 1 e 2 - - 1 = 3 , que é positivo. Isso indica que a função f ( x ) é estritamente crescente em toda sua gama de valores. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o eixo x uma vez. E aqui terminamos nossa prova, um forte abraço meu amigo e até uma próxima.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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