A função:
é zero quando e e derivável em, mas sua derivada em nunca é zero. Explique por quê. O teorema de Rolle não diz que a derivada deveria ser zero em algum lugar em ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Pelo teorema de Rolle temos que:
Repara que para a gente poder aplicar o Teorema de Rolle, antes temos que ver se essas duas condições são satisfeitas:
- A função é contínua para todo o intervalo fechado .
- A função é derivável para todo o intervalo aberto .
Passo 2
Vamos começar avaliando se a função é contícua no intervalo fechado .
Repara que a nossa função muda de cara quando chegamos na fronteira . Deste modo, vamos testar a contínuidade na fronteira.
Lembra do capítulo de continuidade? Então, a função será contínua no ponto se os limites laterias forem iguais a função no ponto:
A função no ponto a gente já sabe,
Agora vamos avaliar o limite pela esquerda (ou seja, para valores menores que 1)
Opa! Repara o limite lateral não é igual a função no ponto. Em outras palavras,
Ou seja, essa função não é contínua, logo o teorema não é aplicável.
Resposta
A função não satifaz as hipóteses do teorema de Rolle, pois ela não é contínua.