Estude o exemplo 1 página 297 de [ST]. Em seguida, encontre os intervalos nos quais f (x) é crescente ou decrescente nos seguintes casos:

  1. f(x) = x^2 * ln(x)

Passo 1

Me chamo Yuri e hoje estou aqui para lhe ajudar com a resolução dessa atividade, hoje queremos encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. Para encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente, precisamos analisar a derivada da função e estudar seus pontos críticos.

Primeiro iremos teremos que derivar a nossa função,

f ' x = d d x ( x 2 ln ⁡ x ) = x 2 ∙ d d x ln ⁡ x + ln ⁡ x ∙ d d x x 2

f ' x = x 2 ∙ 1 x + 2 x ln ⁡ x = x + 2 x ln ⁡ x

Passo 2

Iremos encontrar os pontos críticos, ocorrem onde a derivada se iguala a zero ou é indefinida. Vamos resolver f ' x = 0 para encontrar os pontos

x + 2 x ln ⁡ x = 0

x 1 + 2 ln ⁡ x = 0

Isso implica em x = 0 ou 1 + 2 ln ⁡ x = 0 ,o que resulta em x = e - 1 / 2 .

Passo 3

Agora iremos testar os intervalos determinados pelos pontos críticos e pela escolha de um ponto de teste em cada intervalo para determinar se a função é crescente ou decrescente.

  • Intervalo ( 0 , e - 1 / 2 ) : Escolhendo um ponto de teste x 1 nesse intervalo, temos 0 < x 1 < e - 1 / 2 . Avaliando a derivada nesse ponto, f ' x 1 é positivo, o que significa que a função é crescente nesse intervalo.
  • Intervalo e - 1 2 ,   + ∞ : Escolhendo um ponto de teste x 2 nesse intervalo, temos x 2 > e - 1 2 . Avaliando a derivada nesse ponto, f ' x 2 é positivo, o que novamente significa que a função é crescente nesse intervalo.

Portanto, a função f x = x 2 ln ⁡ x é crescente nos intervalos ( 0 ,   e - 1 2 ) e ( e - 1 2 , + ∞ ) , e não possui intervalos de decrescimento.

Resposta

Portanto, a função f x = x 2 ln ⁡ x é crescente nos intervalos ( 0 ,   e - 1 2 ) e ( e - 1 2 , + ∞ ) , e não possui intervalos de decrescimento.

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