ME03) Seja uma função contínua no intervalo e derivável em , que assume os valores , , e . Considere as afirmações:
- A equação tem pelo menos uma solução no intervalo
- A equação tem exatamente uma solução no intervalo
- A função admite um ponto crítico no intervalo
Pode-se dizer com certeza que:
- Todas as afirmações são falsas
- Somente as afirmações e são verdadeiras
- Somente as afirmações e são verdadeiras
- Todas as afirmações são verdadeiras
- Somente a afirmação é verdadeira
Passo 1
Bora lá. Essa função não nos dá muita informação sobre quem é . Maaaaas, nos dá alguns pontos interessantes que podemos usar no Teorema do Valor Intermediário, que é descrito como:
Ou mesmo no Teorema de Rolle, que é descrito:
Passo 2
Vamos analisar cada afirmativa. Começando pela primeira, temos: A equação tem pelo menos uma solução no intervalo . Pelo TVI, temos que escolher
E sabemos já que:
Como e:
De fato vamos ter pelo menos um que satisfaça
Passo 3
A equação tem exatamente uma solução no intervalo
Pre resolver a segunda afirmativa, aproveitamos a deixa da primeira. Como
De fato vai existir pelo menos um que satisfaça . No entanto, a garantia de que essa solução será única não pode ser dada. Só poderia se nesse intervalo a função fosse estritamente crescente, algo que não temos informações o suficiente pra provar
Passo 4
A função admite um ponto crítico no intervalo
Agora pra fechar com chave de ouro, vamos ver a última afirmativa. Essa aí da pra usar bem o Teorema de Rolle. Porque veja bem, do enunciado, seja:
Tendo:
Então existe um tal que:
E não é que esse resultado é exatamente o resultado de um ponto crítico? Como o intervalo aberto está contido dentro do intervalo aberto , a terceira afirmativa é verdadeira. Beleeeza, fechamos a questão. Vamos ter que e são verdadeiras. A letra certa é: