Se então:
Passo 1
O primeiro passo pra resolver essa questão é olhar bem pra esse número doido do enunciado e ver que ele parece muito algo que conhecemos: O Teorema do Valor Médio! Dá uma olhada nos dois, um do lado do outro:
Não que é bem parecido? Se considerarmos que:
Ai sim as duas expressões são iguais! Sendo então:
Podemos reescrever o número do enunciado como:
E derivando , temos, pela regra do quociente:
E logo:
Passo 2
Show, então na prática o que queremos saber é em que intervalo está contido, sabendo que como:
Vale:
Só que olha a malandragem que faremos agora. Pega a função :
Como será o comportamento gráfico dessa função? Bem, fazendo a primeira derivada dela a gente consegue ter uma ideia! Então derivando esse carinha ai, pela regra do quociente, vamos ter:
Agora, vamos ver os pontos críticos de . Assim, conseguimos entender invervalos de crescimento e decrescimento de :
Usando intervalos que envolvam o ponto acima e , que não está definido, temos:
Pro primeiro intervalo podemos testar e pro segundo, . Vamos ter:
Opa, chegamos a uma conclusão interessantíssima! Se a primeira derivada de , isto é, , é positiva pra , então é estritamente crescente no intervalo . O que quer dizer que não somente:
Como também:
E como sabemos a expressão de isso ai é calculável! Mão na massa!
Passo 3
Sendo então:
Temos:
Por fim temos:
E prontinho! A resposta certa é a letra então, uma vez que ela é exatamente o intervalo encontrado acima