UFSC – Lista 3.3 – 21.1 – P6
Seja . Mostre que não existe um valor c tal que . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?
Passo 1
Bom galera, antes de começar vamos lembrar o Teorema do Valor Médio, ok?
Ele nos diz que:
Olha como ele é igual aquela equação que aparece no enunciado, se a gente a gente fizer e :
Precisamos provar que não existe um valor de que faça isso ser verdade!
Então ambos os lados devem ser idênticos, certo? Então vamos analisar cada termo separadamente e substituir nessa equação..
Passo 2
Começando por Substituindo 3 e 0 na função :
Sendo assim:
Então o outro lado da igualdade também deve ser igual a -4, não é?
Para saber se isso realmente acontece vamos derivar a função. Como envolve módulo faremos isso por partes.
Passo 3
Como o termo está dentro do módulo ele pode ser maior ou menor que zero, se lembram?
Então:
Derivando:
Passo 4
Agora que calculamos a derivada, vamos olhar de novo pra equação que o enunciado nos dá. A gente tava calculando o lado direito dessa equação.
Temos duas derivadas possíveis. No lado direito da igualdade, temos que:
A derivada que a gente calculou tem valores possíveis
Para Então
E para
Nenhum desses dois valores é igual ao lado da esquerdo da equação. Lembra que, no passo 2, calculamos que ?
Ou seja, Ppara qualquer valor de x
E isto contradiz o Teorema do Valor Médio!
No entanto, se não existisse, isto não contradiria o Teorema.
Resposta
Se não existisse, isto não contradiria o Teorema!