Seja f(x) = 1 - x^(2/3) . Mostre que f(-1) = f(1) , mas não existe um número c em (-1, 1) tal que f'(c) = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?

Passo 1

Primeiro vamos fazer a substituição dos números - 1 e 1 em f ( x ) para provar que são iguais:

f - 1 = 1 - - 1 2 3 = 1 - 1 = 0

f 1 = 1 - 1 2 3 = 1 - 1 = 0

Logo, f - 1 = f ( 1 ) .

Passo 2

Agora, derivamos para provar a segunda parte:

f ' x = - 2 3 x - 1 3

Tentando igualar a função a zero:

f ' x = - 2 3 x 3 = 0

- 2 = 0 → ∄

Logo, f ' ( c ) = 0 realmente não possui solução.

Passo 3

Isso não contradiz o Teorema de Rolle porque f ' ( 0 ) não existe, e também porque f não é derivável em ( - 1,1 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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