Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule o valor aproximado de:

e 0,003

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos o polinômio de Taylor de ordem 2 para e 0,003 . Esse polinômio pode ser encontrado usando a função aí embaixo, em que f ' x 0 e f ' ' x 0 são os valores da derivada primeira e segunda, respectivamente no ponto x 0

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 x - x 0 2 2 !

Passo 2

Vamos então calcular a primeira e segunda derivada dessa função dada no enunciado, que seria e x .

f ' x = e x

f ' ' x = e x

Substituindo temos:

P x = e x + e x   x - x 0 + e x     x - x 0 2 2

Note que o ponto x 0 não foi dado. Mas aí qual é a ideia do problema quando isso acontece? O grande bizu aqui é você pegar um valor de x 0 próximo daquele que está dentro da sua função dada no enunciado. Tipo, nesse problema temos e 0,003   ou seja, temos um x = 0 , 003 . Então, podemos pegar um valor próximo de 0 , 003 e usar a série de Taylor pra obter o valor aproximado de e 0,003 . A preferência é pegar um valor que você vá conhecer. Nesse caso, vou escolher x 0 = 0 , porque e 0 eu sei que é 1.

Passo 3

Para x 0 = 0 , temos:

P x = 1 + x + x 2 2

Agora que encontramos o polinômio, o que a gente deve fazer?

Agora, no lugar de x , vamos substituir pelo ponto de x = 0 , 003 que é o valor de x dentro da raiz.

P 0 , 003 = 1 + 0,003 + 0,003 2 2 = 1,003

Resposta

P 0 , 003 = 1,003

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