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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

3) Calcule os polinômios de Taylor de ordem um, dois e três das funções y = f x = x + 1 em a = 0 e da função y = g x = ln ⁡ x em x = 1 . A seguir , calcule os valores destas aproximações em x = 0,2 e x = 1,0 e compare com os valores corretos.

Passo 1

Para não embolarmos nas contas, vamos separar o problema em 2 :

  1. Calcular o Polinômio de Taylor para a função f x ao redor de a = 0 .
  2. Calcular para a função g x ao redor de a = 1 .

Antes de destrincharmos ambos os problemas, ambos têm uma coisa em comum... O polinômio de Taylor:

P n x = f n a n ! ⋅ x - a n  

Bora começarmos pelo primeiro problema !

Passo 2

Começando por f x = x + 1 , o polinômio de Taylor ao redor de a = 0 é

P n x = f n a n ! ⋅ x - a n   →

P n x = f n 0 n ! ⋅ x n  

Então, considerando a derivada 0 como a própria função f 0 x = f x , podemos desenvolver a fórmula geral para o grau n = 1 , n = 2 e n = 3 ...

P 1 x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x

P 2 x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x + f ' ' 0 2 ! ⋅ x 2

P 3 x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x + f ' ' 0 2 ! ⋅ x 2 + f ' ' ' 0 3 ! ⋅ x 3

Passo 3

Devemos calcular então as derivadas da função.

f x = x + 1

Derivando uma vez...

f ' x = 1 2 x + 1

Duas vezes...

f ' ' x = 1 2 x + 1 ' = 1 2 ⋅ x + 1 - 1 2 ' =

- 1 4 ⋅ x + 1 - 3 2

Por fim a terceira...

f ' ' ' x = - 1 4 ⋅ x + 1 - 3 2 ' = 3 8 ⋅ x + 1 - 5 2

Aplicando cada uma dessas derivadas no ponto a = 0 ...

f 0 = 0 + 1 = 1

f ' 0 = 1 2 0 + 1 = 1 2

f ' ' 0 = - 1 4 ⋅ 0 + 1 - 3 2 = - 1 4

f ' ' ' 0 = 3 8 ⋅ 0 + 1 - 5 2 = 3 8

Passo 4

Então agora é só substituir esses caras nos polinômios, começando pelo polinômio de grau 1

P 1 x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x     →           P 1 x = 1 + 1 2 ⋅ x    

Agora o de grau 2 ...

P 2 x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x + f ' ' 0 2 ! ⋅ x 2             →             P 2 x = 1 + 1 2 ⋅ x - 1 2 ⋅ 4 ⋅ x 2

Por fim o de 3 :

P 3 x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x + f ' ' 0 2 ! ⋅ x 2 + f ' ' ' 0 3 ! ⋅ x 3           →               P 3 x = 1 + 1 2 ⋅ x - 1 2 ⋅ 4 ⋅ x 2 + 3 6 ⋅ 8 ⋅ x 3          

Passo 5

Aplicando então x = 0,2 nesses polinômios

P 1 0,2 = 1 + 1 2 ⋅ 0,2 = 1,1  

P 2 0,2 = 1 + 1 2 ⋅ 0,2 - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 0,2 2 = 1,095

P 3 0,2 = 1 + 1 2 ⋅ 0,2 - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 0,2 2 + 3 6 ⋅ 8 ⋅ 0,2 3 = 1,0955

A função f x = x + 1 nesse ponto é:

f 0,2 = 1,095445115

Bem próximos neh?

Para o x = 1 ...

P 1 1 = 1 + 1 2 = 1,5

P 2 1 = 1 + 1 2 - 1 2 ⋅ 4 = 1,375

P 3 1 = 1 + 1 2 - 1 2 ⋅ 4 + 3 6 ⋅ 8 = 1,4375

Comparando...

f 1 = 2 = 1,4142

Passo 6

Repetimos tudo agora, mas para a função g x = ln ⁡ x ao redor de a = 1 concluindo a segunda e última parte da questão.

Então calculando as derivadas já as aplicando no ponto:

g x = ln ⁡ x         →             g 1 = 0

g ' x = 1 x                 →                   g ' 1 = 1    

g ' ' x = - 1 x 2         →             g ' ' 1 = - 1

g ' ' ' x = 2 x 3         →             g ' ' ' 1 = 2

Passo 7

O Polinômio de Taylor de g x de grau 1 , 2 e 3 é:

P n x = g n a n ! ⋅ x - a n

Desenvolvendo...

P 1 x = g 1 + g ' 1 ⋅ x - 1

P 2 x = g 1 + g ' 1 ⋅ x - 1 + g ' ' 1 2 ⋅ x - a 2

P 3 x = g 1 + g ' 1 ⋅ x - 1 + g ' ' 1 2 ⋅ x - a 2 + g ' ' ' 1 6 ⋅ x - 1 3

Substituindo...

P 1 x = x - 1

P 2 x = x - 1 - 1 2 ⋅ x - 1 2

P 3 x = x - 1 - 1 2 x - 1 2 + 1 3 ⋅ x - 1 3

Passo 8

Agora é só testar nos pontos que o problema nos pediu mesmo:

x = 0,2

Para esse x na g ...

P 1 0,2 = 0,2 - 1 = - 0,8

P 2 0,2 = 0,2 - 1 - 1 2 ⋅ 0,2 - 1 2 = - 1,12

P 3 0,2 = 0,2 - 1 - 1 2 0,2 - 1 2 + 1 3 ⋅ 0,2 - 1 3 = - 1,2906666

Comparando com g x = ln ⁡ x ...

g 0,2 = - 1,60943

Para x = 1 ...

P 1 1 = 1 - 1 = 0

P 2 1 = 1 - 1 - 1 2 ⋅ 1 - 1 2 = 0

P 3 1 = 1 - 1 - 1 2 ⋅ 1 - 1 2 + 1 3 ⋅ 1 - 1 3 = 0

Comparando...

g 1 = ln ⁡ 1 = 0

Resposta

Para a f x :

P 1 x = 1 + 1 2 ⋅ x    

    P 2 x = 1 + 1 2 ⋅ x - 1 2 ⋅ 4 ⋅ x 2

  P 3 x = 1 + 1 2 ⋅ x - 1 2 ⋅ 4 ⋅ x 2 + 3 6 ⋅ 8 ⋅ x 3  

Para g x :

P 1 x = x - 1

P 2 x = x - 1 - 1 2 ⋅ x - 1 2

P 3 x = x - 1 - 1 2 x - 1 2 + 1 3 ⋅ x - 1 3

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