UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 7.1b
Determine as séries de Taylor das seguintes funções com centro x = 0.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos pede pra fazer a expansão de Taylor da função com centro em x = 0. Bem, a gente sabe que uma função f(x) arbitrária pode ser escrita como
Onde é a n-ésima derivada da função f(x) calculada no ponto x=0 e aqui é o valor de x ao redor do qual estamos fazendo a expansão. Como estamos expandindo com centro em , temos que a nossa expansão será com polinômios simples de x. Mas antes de calcularmos as derivadas de qualquer expressão, primeiro vamos relembrar uma coisa: a fórmula de uma soma infinita de elementos de uma progressão geométrica com razão menor que 1. No caso de uma progressão geométrica com valor inicial e razão , temos que a soma de todos os elementos converge para
A forma dessa expressão é idêntica a nossa função, se fizermos as identificações: e . Então, vamos tentar expandir a nossa função dessa maneira!
Passo 2
Como estamos expandindo f(x) para x menores que 1 em módulo, temos que a condição da razão da P.G é satisfeita. Então, vamos considerar que a nossa função é a soma infinita de uma progressão geométrica com razão igual à , que será menor que 1, visto que . Então, podemos escrever f(x) como
Dessa expressão, já percebemos que a série só possui os termos com potências pares de x, devido ao expoente 2n. Além disso, temos um sinal que se alterna constantemente para cada termo, mas encontramos uma expressão polinomial (infinita) que representa a nossa função, e portanto, é a Série de Taylor que procuramos, dada por