Prove que se é uma função par, então o polinômio de Taylor de grau em torno de contém apenas potências pares de . (Sugestão: prove que )
Passo 1
Provar a sugestão
Essa questão parece complicada, mas vamo que vamo que tiramos ela de letra. A primeira coisa que vamos fazer é provas a sugestão. Até porque, ela não está lá a toa né! Então simbora: da definição de função par, tiramos que
Show de bola, agora vamos derivar dos dois lados, lembrando de usar a regra da cadeia:
Opa, na última linha chegamos a exatamente a definição de função ímpar! Vamos derivar mais duas vezes só pra ficar claro:
E pela última vez:
Ou seja, seja uma função par, qualquer derivada de ordem par é uma função par e qualquer derivada de ordem ímpar é uma função ímpar.
Passo 2
Usar a definição de função par na expansão da série de Taylor
Maravilha, vamos agora usar o Taylor propriamente dito pra entender como as coisas vão ficar. Centado em vamos ter:
Se é par, então . Isso, falando em termos de série de Taylor, é o mesmo que:
Agora, vamos abrir esses somatórios pra ver o que acontece:
Opa, peraí! Temos termos iguais dos dois lados da expansão! E são exatamente os termos com ímpar (e pra também). Se cortarmos dos dois lados o que for igual, vamos ter:
E olha só, olha lá, olha aqui! Pra isso ser verdade, todo deve ser igual a , sendo que é sempre um número ímpar. Como é diferenciável, qualquer derivada sua também será. Ta mas e daí? Po, não vimos no passo 1 que todo pra ímpar é uma função ímpar? Então! Funções ímpares diferenciáveis sempre passam na origem!
Resposta
para todo ímpar se é uma função par. Sendo assim, expandido em uma série de Taylor centrada em será uma série com somente potências pares.