Usando um polinômio de Taylor de ordem 2 ao redor de 1, a aproximação correta nas três primeiras casas decimais que obtemos para ln ⁡ 1 , 1 é:

a) 0 , 097

b) 0 , 094

c) 0 , 096

d) 0 , 095

e) 0 , 098

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em 1 , tem essa fórmulinha:

P 2 x = f 1 + f ' 1 1 ! x - 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2

Mas quem é f x ? Cara, se a gente quer aproximar ln ⁡ 1 , 1 , então nossa função é

f x = ln ⁡ x

Derivando ela duas vezes:

f ' x = 1 x

f ' ' x = 1 x ' = x - 1 ' = - x - 2 = - 1 x 2

Passo 2

Aí a gente substitui x = 1 , nelas e na função

f 1 = ln ⁡ 1 = 0

f ' 1 = 1 1 = 1

f ' ' 1 = - 1 1 2 = - 1

Com essas coisas a gente monta o polinômio de Taylor:

P 2 x = f 1 + f ' 1 1 ! x - 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2

P 2 x = 0 + 1 1 x - 1 + - 1 1 ⋅ 2 x - 1 2

P 2 x = x - 1 - x - 1 2 2

Passo 3

Agora a gente faz x = 1 , 1 no nosso polinômio para descobrir a aproximação de ln ⁡ 1 , 1 :

f x ≈ P 2 x = x - 1 - x - 1 2 2

ln ⁡ x ≈ P 2 x = x - 1 - x - 1 2 2

ln ⁡ ( 1 , 1 ) ≈ P 2 1 , 1 = 1 , 1 - 1 - 1 , 1 - 1 2 2

ln ⁡ ( 1 , 1 ) ≈ P 2 1 , 1 = 0 , 1 - 0,0 05 = 0 , 095

Resposta

Letra d

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