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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.4

Determine P 3 ( x ) , o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f x = x 5 em torno de x 0 e dê a fórmula para o erro E x = f x - P 3 ( x ) . Use esse polinômio com um x 0 conveniente para avaliar 34 5 com erro inferior a 5 - 2 ∙ 2 - 15 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f x = x 5 em torno de x 0 . A expressão geral do polinômio de Taylor tem a forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Então, para ordem 3 , vamos ter:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + f ' ' ' x 0 3 ! x - x 0 3

Sendo assim, o que nós vamos fazer é calcular a derivada de f ( x ) até a terceira ordem e depois aplicar um x 0 conveniente que nos permita calcular 34 5 com erro inferior a 5 - 2 ∙ 2 - 15 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de f x = x 5 :

f x = x 5

f ' x = f ' x 5 = 1 5 x 4 / 5

f ' ' x = f ' ' 1 5 x 4 / 5 = - 4 25 x 9 / 5

f ' ' ' x = f ' ' ' - 4 25 x 9 / 5 = 36 125 x 14 / 5

Passo 3

Agora é só substituir na equação do polinômio de Taylor de ordem 3 :

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + f ' ' ' x 0 3 ! x - x 0 3

Assim, temos:

P x = x 0 5 + 1 5 x 0 4 / 5 x - x 0 + - 4 25 x 0 9 / 5 2 x - x 0 2 + 36 125 x 0 14 / 5 3 ! x - x 0 3

Simplificando:

P x = x 0 5 + 1 5 x 0 4 / 5 x - x 0 + - 2 25 x 0 9 / 5 x - x 0 2 + 6 125 x 0 14 / 5 x - x 0 3

Passo 4

Escolhendo x 0 = 32 , vamos obter:

P x = 32 5 + 1 5 32 4 / 5 x - 32 + - 2 25 32 9 / 5 x - 32 2 + 6 125 32 14 / 5 x - 32 3

P x = 2 + 1 80 x - 32 + - 2 12800 x - 32 2 + 6 2,048 ∙ 10 6 x - 32 3

Dessa forma, P ( 34 5 ) nos daria:

34 5 ≈ 259123 1288000

Com um erro - 2 ∙ 10 - 6 < E < - 9 ∙ 10 - 7 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P x = 2 + 1 80 x - 32 + - 2 12800 x - 32 2 + 6 2,048 ∙ 10 6 x - 32 3

34 5 ≈ 259123 1288000

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0