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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.5b

(b) Avalie sin ⁡ 1 com erro inferior a 10 - 5 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente avaliar uma aproximação para sin ⁡ 1 de modo que o erro seja menor que 10 - 5 . Para isso, vamos achar o polinômio de Taylor de ordem n + 1 de f x = sen ⁡ x em torno de x 0 = 0 , sabendo que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Então, vamos calcular as derivadas de f ( x ) , ir aplicando ao ponto x 0 = 0 e substituir na fórmula do polinômio. Em seguida, vamos avaliar o erro dessa aproximação para sin ⁡ 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos achar o polinômio de Taylor de ordem n + 1 de f x em volta de x 0 = 0 :

Calculando as derivadas de f x e aplicando ao ponto x 0 = 0 vamos ter:

f x = sen ⁡ x → f 0 = 0

f ' x = f ' sen ⁡ x = cos ⁡ x → f ' 0 = 1

f ' ' x = f ' ' cos ⁡ x = - sen ⁡ x → f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = f ' ' ' - sen ⁡ x = - cos ⁡ x → f ' ' ' 0 = - 1

f 4 x = f 4 - cos ⁡ x = - - sen ⁡ x = sen ⁡ x → f 4 0 = 0

f 5 x = f 5 sen ⁡ x = cos ⁡ x → f 5 0 = 1

Passo 3

Substituindo ficamos com:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n 0 n ! x - 0 n

P x = 0 + 1 x + 0 2 x 2 + - 1 3 ! x 3 + 0 4 ! x 4 + 1 5 ! x 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 n ! x - 0 n

Simplificando:

P x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ - 1 n - 1 2 x n n !  

Assim temos que:

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ - 1 n - 1 2 x n n ! = f n + 2 x - n + 2 ! x n + 2

Como f n + 2 x - ≤ 1 , temos que a desigualdade é válida.

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !

Passo 4

Agora aplicando o valor 1 , temos:

sen ⁡ 1 - 1 - 1 3 3 ! + 1 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 1 n n ! ≤ 1 n + 2 !

Temos que achar o valor de n , aqui vamos fazer por tentativa, de modo que 1 n + 2 ! < 10 - 5 :

n = 1 → 0,167

n = 2 → 0,04167

n = 3 → 0,00833

n = 4 → 0,001389

n = 5 → 0,000198

n = 6 → 0,000024

Temos então que n = 5 , substituindo:

- 1 5 - 1 2 x 5 5 ! = x 5 5 !

Assim:

P x = x - x 3 3 ! + x 5 5 !

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P x = x - x 3 3 ! + x 5 5 !

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