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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

1) Aproxime f x = e x em a = 0 com um polinômio de Taylor de grau 3 e com um polinômio de grau 4 . A seguir calcule os valores destas aproximações em x = 0,2 e x = 1,0 e compare com os valores corretos.

Passo 1

Que tal começarmos colocando direto quem é a função em polinômio de Taylor? Dada uma função qualquer f x , podemos aproximar ao redor do ponto a = 0 da seguinte forma:

P n x - a = f n a n ! ⋅ x - a n   →

P n x = f n 0 n ! ⋅ x n  

Então, considerando a derivada 0 como a própria função f 0 x = f x , podemos desenvolver a fórmula geral para o grau n = 3

P 3 x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x + f ' ' 0 2 ! ⋅ x 2 + f ' ' ' 0 3 ! ⋅ x 3

E também...

P 4 x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x + f ' ' 0 2 ! ⋅ x 2 + f ' ' ' 0 3 ! ⋅ x 3 + f 4 0 4 ! ⋅ x 4

(Cuidado com a notação: f 4 indica a derivada quarta de f e não f 0 elevado a 4 )

Passo 2

Devemos calcular então as derivadas da função.

f x = e x

A função exponencial é muito bacana com a gente, pois ela tem as derivadas sendo ela mesma:

f ' x = e x

f ' ' x = e x

f ' ' ' x = e x

f 4 x = e x

Aplicando cada uma dessas derivadas no ponto a = 0 ...

f 0 = e 0 = 1

f ' 0 = 1

f ' ' 0 = 1

f ' ' ' 0 = 1

f 4 0 = 1

Passo 3

Então agora é só substituir esses caras nos polinômios de grau 3 :

P 3 x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x + f ' ' 0 2 ! ⋅ x 2 + f ' ' ' 0 3 ! ⋅ x 3     →

P 3 x = 1 + x + 1 2 ⋅ x 2 + 1 6 ⋅ x 3        

Agora substituindo no de grau 4 ...

P 4 x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x + f ' ' 0 2 ! ⋅ x 2 + f ' ' ' 0 3 ! ⋅ x 3 + f 4 0 4 ! ⋅ x 4   →

P 4 x = 1 + x + 1 2 ⋅ x 2 + 1 6 ⋅ x 3 + 1 24 ⋅ x 4

Passo 4

Aplicando então x = 0,2 no polinômio de grau 3 ...

P 3 x = 1 + x + 1 2 ⋅ x 2 + 1 6 ⋅ x 3   →

P 3 0,2 = 1 + 0,2 + 0,2 2 2 + 0,2 3 6   →

Com o auxílio de uma calculadora...

P 3 0,2 = 1,22133333

Calculando o mesmo para a aproximação pelo polinômio de grau 4 :

P 4 0,2 = 1 + 0,2 + 0,2 2 2 + 0,2 3 6 + 0,2 4 24 =

P 4 0,2 = 1,2214

A função f x = e x nesse ponto é:

f 0,2 = 1.22140275816

Bem próximos neh?

Passo 5

Fazendo o mesmo, mas agora para o ponto x = 1 em P 3 ...

P 3 x = 1 + x + 1 2 ⋅ x 2 + 1 6 ⋅ x 3   →

P 3 1 = 1 + 1 + 1 2 + 1 6   →

P 3 1 = 2,6666666

No polinômio de ordem 4 ...

P 4 x = 1 + x + 1 2 ⋅ x 2 + 1 6 ⋅ x 3 + 1 24 ⋅ x 4       →

P 4 1 = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24       →

P 4 1 = 2,70833333

Na calculadora, verificamos que

f 1 = e = 2 , 71828182846

Resposta

P 3 x = 1 + x + 1 2 ⋅ x 2 + 1 6 ⋅ x 3        

P 4 x = 1 + x + 1 2 ⋅ x 2 + 1 6 ⋅ x 3 + 1 24 ⋅ x 4

P 3 0,2 = 1,2213333     e       P 4 0,2 = 1,2214           f 0,2 = 1.2214027581 6

P 3 1   = 2,6666666     e       P 4 1 = 2,708333           f 1 = 2 , 71828182846

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