USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.1b
Utilizando o polinômio de Taylor de ordem , calcule um valor aproximado e avalie o erro.
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar um polinômio de Taylor de ordem que nos dê um valor aproximado para e, em seguida, avaliar o erro dessa aproximação.
Um polinômio de Taylor de ordem centrado em tem essa cara aqui:
Então, para encontrar uma aproximação para a nossa função, vamos precisar da primeira e da segunda derivada dela. Em seguida, vamos assumir um valor para próximo ao que queremos aproximar e substituir tudo na equação do polinômio.
Para avaliar o erro dessa aproximação, vamos usar:
De modo que . Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas de :
Agora vamos assumir e substituir nas derivadas:
Além disso, .
Com isso, substituindo no polinômio de Taylor de ordem :
O polinômio vai ficar:
Aplicando a propriedade distributiva:
Assim, para , vamos ter o valor aproximado fazendo :
Passo 3
Feito isso, vamos avaliar o erro dessa aproximação usando:
Por isso, vamos calcular a terceira derivada da função, usando o valor da segunda derivada encontrada no passo anterior ():
Sabendo que , que e usando , temos:
Portanto, o erro é da ordem de .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉