Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2 , calcule um valor aproximado e avalie o erro.

b) ln ⁡ ( 1,3 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar um polinômio de Taylor de ordem 2 que nos dê um valor aproximado para ln ⁡ ( 1,3 ) e, em seguida, avaliar o erro dessa aproximação.

Um polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em x 0 tem essa cara aqui:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

Então, para encontrar uma aproximação para a nossa função, vamos precisar da primeira e da segunda derivada dela. Em seguida, vamos assumir um valor para x 0 próximo ao que queremos aproximar e substituir tudo na equação do polinômio.

Para avaliar o erro E ( x ) dessa aproximação, vamos usar:

E x = f ' ' ' ( x ) 3 ! x - x 0 3

De modo que f x - P ( x ) ≤ E ( x ) . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de f x = ln ⁡ x :

f ' x = 1 x

f ' ' x = - 1 x 2

Agora vamos assumir x 0 = 1 e substituir nas derivadas:

f ' 1 = 1 1 = 1

f ' ' 1 = - 1 1 2 = - 1

Além disso, f x 0 = f 1 = ln ⁡ ( 1 ) = 0 .

Com isso, substituindo no polinômio de Taylor de ordem 2 :

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2

O polinômio vai ficar:

P x = 0 + 1 x - 1 - 1 2 x - 1 2

Aplicando a propriedade distributiva:

P x = x - 1 - x 2 2 + x - 1 2

P x = - 3 2 + 2 x - x 2 2

Assim, para f x = ln ⁡ ( 1,3 ) , vamos ter o valor aproximado fazendo x = 1,3 :

P 1,3 = - 3 2 + 2 ( 1,3 ) - ( 1,3 ) 2 2

P 1,3 = 0,255

Passo 3

Feito isso, vamos avaliar o erro dessa aproximação usando:

E x = f ' ' ' ( x ) 3 ! x - x 0 3

Por isso, vamos calcular a terceira derivada da função, usando o valor da segunda derivada encontrada no passo anterior ( f ' ' x = - 1 x 2 ):

f ' ' ' x = 2 x 3

Sabendo que f 1,3 = ln ⁡ ( 1,3 ) , que P 1,3 = 0,255 e usando f x - P ( x ) ≤ E ( x ) , temos:

ln ⁡ ( 1,3 ) - 0,255 ≤ 2 6 ∙ 1,3 3 1 , 3 - 1 3

ln ⁡ ( 1,3 ) - 0,255 ��� 0,004096495

ln ⁡ ( 1,3 ) - 0,255 ≤ 10 - 2

Portanto, o erro é da ordem de 10 - 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P 1,3 = 0,255

ln ⁡ ( 1,3 ) - 0,255 ≤ 10 - 2

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