Mostre que o polinômio de Taylor, de qualquer ordem,

Parte1: de cos(x) é sempre uma função par

Parte 2: e que o polinômio de Taylor de sen(x), de qualquer ordem, é sempre uma função ímpar.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

lembrando de como é o polinômio de Taylor de sexta ordem em zero

P n = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' v 0 4 ! x 4 + f v 0 5 ! x 5 + f v i 0 6 ! x 6

Sendo assim, precisamos encontrar os valores de derivada, aplicar em zero e montar nosso polinômio! Depois disso é só verificar a paridade de cada função!

Sabemos que uma função é ímpar quando

f x = - f ( - x )

Mas e o que isso tem a ver com o polinômio? Isso vai acontecer quando as potências do nosso polinômio forem todas ímpares! Assim trocar o sinal vai alterar o valor da função!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Começando com o seno: f x = sin ⁡ x

E em x = 0 :

f 0 = 0

Agora vamos derivar e aplicar em zero sucessivas vezes

f ' x = cos ⁡ x ; f ' 0 = 1

f ' ' x = - sin ⁡ x ; f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = - cos ⁡ x ; f ' ' ' 0 = - 1

f i v x = sin ⁡ x ; f ' v 0 = 0

f v x = cos ⁡ x ; f v 0 = 1

f v i x = - sin ⁡ x ; f ' 0 = 0

Você percebe que apenas as derivadas de ordem ímpar sobrevivem?

É isso! O seno é uma função ímpar porque apenas as potências ímpares são diferentes de zero!

Substituindo no polinômio temos

P n = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' v 0 4 ! x 4 + f v 0 5 ! x 5 + f v i 0 6 ! x 6

sin ⁡ x = x - 1 6 x 3 + 1 120 x 5 - …

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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