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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 6.4Parte1

Mostre que o polinômio de Taylor, de qualquer ordem,

Parte1: de c o s ( x ) é sempre uma função par

Parte 2: e que o polinômio de Taylor de s i n ( x ) , de qualquer ordem, é sempre uma função ímpar.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

lembrando de como é o polinômio de Taylor de sexta ordem em zero

P n = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' v 0 4 ! x 4 + f v 0 5 ! x 5 + f v i 0 6 ! x 6

Sendo assim, precisamos encontrar os valores de derivada, aplicar em zero e montar nosso polinômio! Depois disso é só verificar a paridade de cada função!

Sabemos que uma função é ímpar quando

f x = - f ( - x )

Mas e o que isso tem a ver com o polinômio? Isso vai acontecer quando as potências do nosso polinômio forem todas ímpares! Assim trocar o sinal vai alterar o valor da função!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Começando com o seno: f x = sin ⁡ x

E em x = 0 :

f 0 = 0

Agora vamos derivar e aplicar em zero sucessivas vezes

f ' x = cos ⁡ x ; f ' 0 = 1

f ' ' x = - sin ⁡ x ; f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = - cos ⁡ x ; f ' ' ' 0 = - 1

f i v x = sin ⁡ x ; f ' v 0 = 0

f v x = cos ⁡ x ; f v 0 = 1

f v i x = - sin ⁡ x ; f ' 0 = 0

Você percebe que apenas as derivadas de ordem ímpar sobrevivem?

É isso! O seno é uma função ímpar porque apenas as potências ímpares são diferentes de zero!

Substituindo no polinômio temos

P n = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' v 0 4 ! x 4 + f v 0 5 ! x 5 + f v i 0 6 ! x 6

sin ⁡ x = x - 1 6 x 3 + 1 120 x 5 - …

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0