UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 6.6
Aproxime usando polinômios de Taylor de de ordem e .
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo beleza?
Nessa questão precisamos encontrar uma aproximação para o número:
Usando o polinômio de Taylor de ordem e .
Bom, antes de escrever o polinômio de Taylor precisamos escolher em torno de qual valor a função estará centrada e qual o valor de no polinômio nos dará a aproximação pedida.
Como queremos calcular:
Podemos tomar o centro da função em .
E, o ponto que queremos calcular:
Assim, temos uma função que não está centrada em . Daí, o polinômio de Taylor fica:
Tudo tranquilo até aqui?
Passo 2
Vamos calcular as derivadas da nossa função para depois substituirmos os pontos pedidos.
Temos:
Derivando mais uma vez:
E, derivando uma última vez:
Massa!
Passo 3
Vamos então substituir nas expressões dos polinômios de ordem , e que comentamos no passo .
Já para a ordem , temos:
E, por fim, para a ordem :
Muito bom pessoal!
Algo interessante da gente observar é que conforme vamos aumentando o grau do polinômio de Taylor, mais nos aproximamos do valor real de .
Mas é isso gente, obrigado pela atenção e até a próxima 😉