Passo 1

A primeira coisa a fazer é achar as derivadas de ordem 2 dessa função f x , y

f x = x 3 2

f ' ( x ) = 3 2 x 1 / 2

f ' ' x = 3 2 ∙ 1 2 x - 1 / 2 = 3 4 x - 1 / 2

Passo 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f 4 = ( 4 ) 3 2 = 4 3 = 4 4 = 4.2 = 8

f ' 4 = 3 2 ∙ 4 1 / 2 = 3 2 ∙ 2 = 3

f ' ' 4 = 3 4 ∙ 4 - 1 / 2 = 3 4 4 = 3 8

Passo 3

Agora temos que achar cada termo do polinômio:

f 4 = 8

f ' 4 x - 4 1 1 ! = 3 x - 4

f ' ' 4 x - 4 2 2 ! = 3 8 2 ! x - 4 2 = 3 16 x - 4 2

Passo 4

O polinômio vai ficar:

P 2 4 = 8 + 3 x - 4 + 3 16 x - 4 2

Passo 5

Vamos agora achar o valor do polinômio no ponto x = 4,2

P 2 4 , 2 = 8 + 3 4,2 - 4 + 3 16 4,2 - 4 2

P 2 4,2 = 8,6075

Resposta

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0