Sabe-se que uma função duas vezes diferenciável satisfaz a equação:
- Calcule e no ponto .
- Encontre o polinômio de Taylor de grau dois em torno do ponto .
Passo 1
Vamos começar pela letra a. Para calcular e , vamos derivar implicitamente:
Isolando :
Encontramos , para encontrar , derivamos novamente usando a regra do quociente:
Agora, vamos determinar os valores no ponto desejado, substituindo :
Passo 2
A ideia do polinômio de Taylor não muda nada com aproximações para implícitas, onde ,
No ponto , temos, para a aproximação de grau :
Ou seja:
Substituindo os valores achamos na letra :
Pronto, sem mistério.
Resposta
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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 sen x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0